组合模型攻略32 组合模型30关攻略

【附】为方便有需要的人编辑，特附纯文本如后。另外，文末提供PPT照片版。

【代数6-5】对整数n≥2，令F（n）=∑_(k=1)^∞〖（2k-1）!!〖[C〗_(n-1)^(2k-2) 〖-nC_(n-2)^(2k-1)-C〗_(n-2)^2k]〗，试证：F（n）=1.(原创题)

【问题感】由于和式中的代表项非常复杂，为了探索隐藏的规律，想到适当的变形。

注意到C_(n-2)^(2k-1)、C_(n-2)^2k下标相同，考虑上标相同，观察是否有新的特征。

请注意，如果是计算题，可以研究特例，猜出结果，然后转化为恒等式证明。

F（2）=∑_(k=1)^∞〖（2k-1）!!〖[C〗_1^(2k-2) 〖-2C〗_0^(2k-1) 〖-C〗_0^2k]〗=（C10-0-0）=1。

F（3）=∑_(k=1)^∞〖（2k-1）!!〖[C〗_2^(2k-2) 〖-3C〗_1^(2k-1) 〖-C〗_1^2k]〗

=（C20-3C11-0） 3（C22-0-0）=1-3 3=1。

F（4）=∑_(k=1)^∞〖（2k-1）!!〖[C〗_3^(2k-2) 〖-4C〗_2^(2k-1) 〖-C〗_2^2k]〗

=（C30-4C21- C22） 3（C32-0-0）=（1-8-1） 9=1。

F（5）=∑_(k=1)^∞〖（2k-1）!!〖[C〗_4^(2k-2) 〖-5C〗_3^(2k-1) 〖-C〗_3^2k]〗

=（C40-5C31- C32） 3（C42-5C33-0） 15（C44-0-0）

=（1-15-3） 3（6-5） 15=1。

F（6）=∑_(k=1)^∞〖（2k-1）!!〖[C〗_5^(2k-2) 〖-6C〗_4^(2k-1) 〖-C〗_4^2k]〗

=（C50-6C41- C42） 3（C52-6C43- C44） 15（C54-0-0）

=（1-24-6） 3（10-24-1） 75=1。

因为C_(n-2)^(2k-1) C_(n-2)^2k(同底相加)=C_(n-1)^2k，所以

（如果选用C_(n-2)^(2k-1) C_(n-2)^(2k-2)=C_(n-1)^(2k-1)上标不变成相同)

C_(n-1)^(2k-2)-nC_(n-2)^(2k-1)-C_(n-2)^2k=C_(n-1)^(2k-2)-n（C_(n-1)^2k-C_(n-2)^2k）-C_(n-2)^2k=C_(n-1)^(2k-2)-nC_(n-1)^2k （n-1）C_(n-2)^2k。

【发掘规律】其中-nC_(n-1)^2k （n-1）C_(n-2)^2k差异形式：-（△nC_(n-1)^2k）。

因此，它将代表项的另一部分C_(n-1)^(2k-2)还表示差分形式，利用组合数的性质。

因为C_(n-1)^(2k-2) C_(n-1)^(2k-1)=C_n^(2k-1)，所以C_(n-1)^(2k-2)=C_n^(2k-1)-C_(n-1)^(2k-1)，所以

C_(n-1)^(2k-2) 〖-nC_(n-2)^(2k-1)-C〗_(n-2)^2k=（C_n^(2k-1)-C_(n-1)^(2k-1)）-（nC_(n-1)^2k-（n-1）C_(n-2)^2k）

=〖[C〗_n^(2k-1) 〖-nC〗_(n-2)^2k]- 〖[C〗_(n-1)^(2k-1) 〖-(n-1)C〗_(n-2)^2k]=p（n）- p（n-(因式差分)，

其中p（n）=C_n^(2k-1) 〖-nC〗_(n-2)^2k。

这样，∑_(k=1)^∞〖（2k-1）!!〖[C〗_(n-1)^(2k-2) 〖-nC_(n-2)^(2k-1)-C〗_(n-2)^2k]〗

=∑_(k=1)^∞〖（2k-1）!![p（n）- p（n-1）]〗= G（n）- G（n-(代表项差分)，

其中G（n）=∑_(k=1)^∞〖（2k-1）!!p（n）〗=∑_(k=1)^∞〖（2k-1）!!〖[C〗_n^(2k-1) 〖-nC〗_(n-1)^2k]〗。

问题转换到目前为止，问题明G（n）- G（n-1）=1，即{ G（n）}公差为1的等差数列。

很容易想到，转求G（n）这可以研究特例。

对G（n）=∑_(k=1)^∞〖（2k-1）!!〖[C〗_n^(2k-1) 〖-nC〗_(n-1)^2k]〗，我们有

G（1）=∑_(k=1)^∞〖（2k-1）!!〖[C〗_1^(2k-1) 〖-C〗_0^2k]〗=C11-0=1。

G（2）=∑_(k=1)^∞〖（2k-1）!!〖[C〗_2^(2k-1) 〖-2C〗_1^2k]〗=C21-0=2。

G（3）=∑_(k=1)^∞〖（2k-1）!!〖[C〗_3^(2k-1) 〖-3C〗_2^2k]〗=（C31-3C22） 3[C33-0]=3。

G（4）=∑_(k=1)^∞〖（2k-1）!!〖[C〗_4^(2k-1) 〖-4C〗_3^2k]〗=（C41-4C32） 3[C43-0]=4。

G（5）=∑_(k=1)^∞〖（2k-1）!!〖[C〗_5^(2k-1) 〖-5C〗_4^2k]〗=（C51-5C42） 3（C53-5C44） 5×3[C55-0]=5。

对于任何正整数n，有G（n）=n，即∑_(k=1)^∞〖（2k-1）!!〖[C〗_n^(2k-1) 〖-nC〗_(n-1)^2k]〗=n。

为了证明这一猜想，模仿和式中代表项的变形。

结构相同将C_n^(2k-1)、C_(n-1)^2k同样的上标。

因为C_n^(2k-1) C_n^2k(同底相加)=C_(n 1)^2k，所以C_n^(2k-1)-nC_(n-1)^2k=C_(n 1)^2k-C_n^2k-nC_(n-1)^2k。

G（n）= ∑_(k=1)^∞〖（2k-1）!!〖[C〗_n^(2k-1) 〖-nC〗_(n-1)^2k]〗=∑_(k=1)^∞（2k-1）!![C_(n 1)^2k-C_n^2k-nC_(n-1)^2k]

=H（n 1）- H（n）-n H（n-1），其中H（n）=∑_(k=1)^∞〖（2k-1）!!C_n^2k 〗。

至此，问题转化为H（n）=∑_(k=1)^∞〖（2k-1）!!C_n^2k 〗满足以下递归关系：

H（n 1）= H（n） n H（n-1） n。

注意，H（n）=∑_(k=1)^∞〖（2k-1）!!C_n^2k 〗组合意义明显：其中C_n^2kN个数中取2k(2)k-1）！！则是2k平均数分为k组的方法数。因此，建以下组合模型。

组合模型考虑以下问题：将n个人分成几组，每组1或2人。要求所有不同的分组方法J（n）。

以两种方式计算目标和类型中代表项的组合意义J（n）(捆绑计算和分散计算)。

【捆绑计算】称两人组为对子，从对子计算J（n）。

如果没有对子，有唯一的方法。

下面包含k对子（k≥1)。在k对子中选择2k个元素有Cn2k种方法，将2k元素分为k对子（C2k2C2k-22…C22）/k! =（2k）!/（2kk!）=（2k-1)！一种方法。因此，含k对子的分组方法数为(2k-1）!!C_n^2k（n≥2）。

所以，J（n）=1 ∑_(k=1)^∞〖（2k-1）!!C_n^2k 〗=:1 H（n）。

【分散计算】从元素出发计算J（n）。

当n=2.有唯一的方法不建立对子；建立对子也有唯一的方法，所以J（2）=1 1=2。

当n≥三、调查某人a所在组的情况，有两种可能。

（1）a所在组有，组有2人n-一种取法，剩下的n-2人的分组方法数为J（n-2)此时共有（n-1）J（n-2）种方法。

（2）a小组只有一个人，除了an-1人的分组方法数为J（n-2）。

所J（n）= J（n-1） （n-1）J（n-2）。

【还原】又J（n）= H（n） 1，则

由此得H（n） 1= H（n-1） 1 （n-1）H（n-2） n-1。

即H（n）= H（n-1） （n-1）H（n-2） n-1。

所以H（n 1）= H（n） nH（n-1） n，命题获证。

【新写】考虑以下问题:将n个人分成几组，每组1或2人。要求所有不同的分组方法J（n）。

假如每组都是一人，那么唯一的办法就是。下设含有k（k≥1)个组为2人组。选取2k个人有Cn2k种方法，将2k个人平均分为k组（C2k2C2k-22…C22）/k! =（2k）!/（2kk!）=（2k-1）！！种方法。因此，包含k2人组的分组方法数为(2k-1）!!C_n^2k（n≥2）。所以，J（n）=1 ∑_(k=1)^∞〖（2k-1）!!C_n^2k 〗=:1 H（n）。

另一方面，很明显J（2）=1 1=2。当n≥3时，调查a所在组的情况。若a所在组有2人，则该组有2人n-一种取法，剩下的n-2人的分组方法数为J（n-2)此时共有（n-1）J（n-2)方法；如果a所在组只有一人，则分组方法数为J（n-1）。所以J（n）= J（n-1） （n-1）J（n-2）。

又J（n）=1 H（n），代入得H（n）= H（n-1） （n-1）H（n-2） n-1。

所以H（n 1）= H（n） nH（n-1） n，这样，

n=H（n 1）- H（n）-nH（n-1）=∑_(k=1)^∞（2k-1）!![C_(n 1)^2k-C_n^2k-nC_(n-1)^2k]

=∑_(k=1)^∞（2k-1）!![C_n^(2k-1)-nC_(n-1)^2k]。

令G（n）=∑_(k=1)^∞（2k-1）!![C_n^(2k-1)-nC_(n-1)^2k]，则G（n）- G（n-1）=n-（n-1）=1，化简即F（n）=1，证毕。

（实际上，1=G（n）- G（n-1）

=∑_(k=1)^∞（2k-1）!![C_n^(2k-1)-nC_(n-1)^2k-C_(n-1)^(2k-1) （n-1）C_(n-2)^2k]

=∑_(k=1)^∞（2k-1）!![C_(n-1)^(2k-2)-n（C_(n-1)^2k-C_(n-2)^2k）-C_(n-2)^2k]

=∑_(k=1)^∞（2k-1）!![C_(n-1)^(2k-2)-nC_(n-2)^(2k-1)-C_(n-2)^2k]。）