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灵机一动

数学是思维的体操，许多数学问题的答案经常闪现在你的灵机一动中。本专栏选择数学中的好问题、有趣的问题，以及最能锻炼数学思维的问题，希望能给你带来思考的乐趣。

这个问题来了

NO. 191

同时开放

花园里有三种植物：向日葵、百合和牡丹。

(1)这三种花一周只能同时开放一天；

(2)没有一种花能连续开三天；

(3)一周内，任何两种花同时不开一天以上；

(四)向日葵周二、周四、周日不开放；

(5)周四周六百合花不开放；

(6)周日牡丹不开放；

星期几同时开三种花？

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回顾上期问题

NO. 190

走圆圈

如图所示，按照红、黄、橙、蓝、绿的顺序走五五个圆圈（只能水平或垂直行走，不能跳过，不能斜行走），有多少不同的行走方式？如果主题中的图片从5层增加到10层（相应地，颜色也增加到10层），按照相同的规则走10步，答案是什么？

分析与解答

答：分别有31种和1023种走法。

方法一：标数法

圈子里的数字代表到达这个圈子的走法数，可以看出有31种方法可以走到绿圈。按照这个规律，10层有2¹º-1=1023种走法。

方法二:逆推法

很容易看出，按照红、黄、橙、蓝、绿的顺序，按照绿、蓝、橙、黄、红的顺序，依次完成五个圆的方法是一样的。因此，不妨反过来考虑一下路线，从中间的绿色圆圈向外走4步。有两种情况，一种是每一步都选择向上或向右，有 2⁴ 另一种是选择每一步向上或向左，也有 2⁴ 种走法。但这两种情况都包括一直向上的方法，多计算一次，所以减去一次。这样答案为2x2⁴－1=31。

类似地，如果是n层，答案是2ⁿ－1。

选择题友回答◎题友@张存桂的回答：

在红色圆圈中标记数字1，然后在其他颜色的圆圈中记录上、左（右）方与其连接的上一个颜色的圆圈中的数字和，最后绿色圆圈中的数字为31=2^5-1. 因此，如果有10排圆圈，绿圈中的最终数字应该是2^10-1=1023-不同步法的总数。

◎题友 @行走无间 的解答：

将整个过程反过来，即从中间的绿色圈出发，连续四步要求颜色不重复。颜色不能重复，这导致不可能同时包括向左和向右。将所有符合要求的方法分为三类。A类别：包括向左行走；B类别：包括向右行走；C类：全部向上走。如果从绿色圈开始，每次要么向上向左，这种走法正好是A类和C类走法的总和，共2^4=16种走法。同样，B类和C类也有16种走法。C类走法只有一种。所有总共有16 16-1=31种走法。 对于10步10步的情况，总步数可以是2*2^9-1=1023种

◎题友 @刘斌 的解答：

另一方面，我们从内(绿)开始往外走。设n层的走法是P(n)，显然P(1)=1。 对于这个P(n)问题，分解。假设第一步如果上去，就会变成一个P(n-1)的问题。若左走，剩下的n-两层每一步都有，只有两个选择。步法是2 ⁿ ˉ²。右走完全一样。 所以，我们知道，P(n)=P(n-1) 2 ⁿ ˉ² 2 ⁿ ˉ²。所以根据中学知识很容易知道，P(n)= 2 ⁿ -1 也就是说，5层答案是31，10层答案是1023。

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